कैसे न्यूनतम सार्वभाजक (Least Common Denominator) ज्ञात करें

अलग-अलग हर (denominator) वाले भिन्न (fraction) को जमा करने या घटाने के लिए आपको सबसे पहले एक समान हर ढूंढना होगा जो कि इन सबमें साझा हो अर्थात् समान हो। यह उन सभी निम्नतम (lowest) गुणकों को दर्शाता है जो समीकरण के सभी वास्तविक हर को साझा करते हैं। इस लेख में हम आपको कुछ ऐसे तरीके बता रहे हैं जिन्हें अपनाकर आप न्यूनतम सार्वभाजक या फिर जिसे आप अंग्रेजी में लीस्ट कॉमन डिनोमिनेटर (Least Common Denominator or LCD) भी कहते हैं, ज्ञात कर सकते हैं। साथ ही आप यह भी सीख पायेंगे कि कैसे इन न्यूनतम सार्वभाजक को समीकरण में रखकर कैसे अपने प्रश्न को हल किया जा सकता है।

संपादन करेंचरण

संपादन करेंगुणकों (Multiples) को सूचीबद्ध करना^[१]

1. प्रत्येक हर के गुणकों की सूची बनायें: समीकरण के प्रत्येक हर के सभी छोटे-से-छोटे गुणकों की सूची बनाईये। प्रत्येक सूची में ऐसी हर संख्याएँ होनी चाहियें जो कि 1, 2, 3, 4, आदि से गुणा हों।
   • उदाहरण के लिए: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • 2 के गुणक: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; आदि।
   • 3 के गुणक: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; आदि।
   • 5 के गुणक: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; आदि।
2. सभी समान छोटे गुणक पता करें: प्रत्येक लिस्ट को ध्यानपूर्वक देखें और ऐसे गुणक लिखें जो कि सभी वास्तविक हर में शामिल हों। समान गुणक को छाँटने के बाद सबसे छोटा हर पता करें।
   • ध्यान दें कि यदि इस स्थिति में आपके पास समान हर नहीं है तो आपको गुणक पुनः लिखने होंगे। ऐसा आपको तब तक करना होगा जब तक आपको समान गुणक न मिल जायें।
   • उदाहरण: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
   • अतः LCD (लीस्ट कॉमन डिनोमिनेटर) = 30
3. वास्तविक समीकरण को दोबारा लिखें: अपने समीकरण के सभी भिन्न को बदलने के लिए (ताकि ये वास्तविक समीकरण के अनुरुप बने रहें), आपको प्रत्येक हर को उस गुणक से गुणा करना होगा जिससे आपने LCD प्राप्त करने के लिए सभी हर को किया था।
   • उदाहरण: 15 * (1/2); 10 * (1/3); 6 * (1/5)
   • नया समीकरण: 15/30 + 10/30 + 6/30
4. हल करें: LCD को प्राप्त करने और भिन्न को बदलने के बाद आपको अपने प्रश्न को हल करने में ज्यादा परेशानी नहीं होनी चाहिये।
   • उदाहरण: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

संपादन करेंमहत्तम समापवर्तक (GCF) का प्रयोग^[२]

1. GCF (Greatest Common Factor) पता करें: प्रत्येक हर संख्या को गुणकों में लिखकर पता करें यदि सभी हर में एक समान बड़ा गुणक (GCF) है।
   • उदाहरण: 3/8 + 5/12
   • 8 के गुणक: 1, 2, 4, 8
   • 12 के गुणक: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • GCF: 4
2. हर को गुणा करें: प्रश्न को हल करने के अगले चरण में अलग-अलग हर को आपस में एक-दूसरे से गुणा करें।
   • उदाहरण: 8 * 12 = 96
3. GCF से भाग करें: दो अलग-अलग हर के जोड़ को पता करने के बाद प्राप्त GCF से इस जोड़ को भाग करें। यह संख्या आपकी LCD होगी।
   • उदाहरण: 96 / 4 = 24
4. वास्तविक समीकरण को दोबारा लिखें: सभी अंश को उस संख्या से गुणा कर पुनः लिखें जिससे आपने सभी हर को LCD के बराबर किया था। LCD को वास्तविक हर से भाग करके प्रत्येक भिन्न के लिए गुणक पता करें।
   • उदाहरण: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
   • 3 * (3/8) = 9/24; 2 * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24
5. समीकरण को हल करें: प्राप्त LCD से आप समीकरण में दिए गए भिन्नों को जोड़ तथा घटा कर सकते हैं। ऐसा करने में आपको अधिक परेशानी नहीं होनी चाहिये।
   • उदाहरण: 9/24 + 10/24 = 19/24

संपादन करेंप्रत्येक हर को अभाज्य गुणक में बाँटें^[३]

1. प्रत्येक हर को अभाज्य संख्याओं में विभाजित करें: प्रत्येक हर को अभाज्य संख्याओं के क्रम में लिखें। आप यह अवश्य जानते होंगे कि अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो अपने अतिरिक्त किसी से भी विभाजित नहीं होती हैं।
   • उदाहरण: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • 4 के अभाज्य गुणक: 2 * 2
   • 5 के अभाज्य गुणक: 5
   • 12 के अभाज्य गुणक: 2 * 2 * 3
2. प्रत्येक गुणनखंड में आने वाली अभाज्य संख्या कितनी बार आई हैं उसे गिनें: प्रत्येक हर के गुणनखंड में आने वाली अभाज्य संख्याओं को मिलायें।
   • उदाहरण: 4 में दो बार 2 है; 5 में शून्य बार 2; तथा 12 में दो बार 2 है।
   • 4 तथा 5 में शून्य बार 3 है; तथा 12 में एक बार 3 है।
   • 4 तथा 12 में शून्य बार 5 है; तथा 5 में एक बार 5 है।
3. प्रत्येक अभाज्य संख्या कितनी बार आई है, वह बड़ी-से-बड़ी संख्या लिखें: प्रत्येक अभाज्य संख्या को आपने कितनी अधिक-से-अधिक बार प्रयोग किया है उसे लिखें और फिर इन्हें गिनें।
   • उदाहरण: 2 की अधिक-से-अधिक गिनती दो है; 3 की एक; तथा 5 की भी एक है।
4. पिछले स्टैप में जितनी बार आपने अभाज्य संख्या गिनी थी उसकी गिनती यहाँ लिखें: सभी वास्तविक हर में आने वाली अभाज्य संख्याएँ कितनी बार आई हैं उसे यहाँ बार-बार नहीं लिखना है बल्कि उस गिनती को यहाँ लिखना है जितनी बार यह आई हैं।
   • उदाहरण: 2, 2, 3, 5
5. इस तरह लिखी हुई सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा करें: इन सभी अभाज्य संख्याओं को आपस में गुणा करें। प्राप्त उत्तर आपके वास्तविक समीकरण के LCD के बराबर होगा।
   • उदाहरण: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
   • LCD = 60
6. वास्तविक समीकरण को दोबारा लिखें: LCD को प्रत्येक हर से भाग करें। अब, प्रत्येक अंश को उस संख्या से गुणा करें जिससे इसके हर को आपने LCD में बदला था।
   • उदाहरण: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60
7. हल करें: प्राप्त LCD और हर को बराबर बनाने के बाद आप अाराम से जोड़ तथा घटा कर सकते हैं।
   • उदाहरण: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

संपादन करेंपूर्णांक और मिश्रित संख्या का उपयोग^[४]

1. प्रत्येक पूर्णांक (integers) तथा मिश्रित संख्या (mixed number) को अनुचित भिन्न (improper fraction) में बदलें: मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्न में बदलें। इसके लिए पूर्णांक को हर से गुणा कर इस गुणनफल में अंश को जोड़ दें। पूर्णांक को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए पूर्णांक को “1” के हर के ऊपर रखें।
   • उदाहरण: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4; 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • पुनः लिखी हुई समीकरण: 8/1 + 9/4 + 2/3
2. LCD ज्ञात करें: समान भिन्नों के LCD को पता करने के लिए पहले बताये गये तरीकों में से किसी का भी प्रयोग करें। इस उदाहरण के लिए ध्यान दें कि हम गुणकों की सूची बनाने के तरीके का प्रयोग करेंगे। इस तरीके में प्रत्येक हर के गुणकों की सूची बनाई जाती है तथा इन सूचियों में से LCD पता किया जाता है।
   • यहाँ पर यह ध्यान देना आवश्यक है कि 1 के गुणकों की सूची न बनायें क्योंकि कोई भी संख्या जिसे 1 से गुणा किया जाये तो वही संख्या प्राप्त होगी। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या 1 की गुणक होती है।
   • उदाहरण: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; आदि।
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; आदि।
   • LCD = 12
3. वास्तविक समीकरण को दोबारा लिखें: हर को अकेले गुणा करने से अच्छा है कि आप पूरे भिन्न को उस संख्या से गुणा करें जो कि वास्तविक हर को LCD में बदलने के लिए प्रयोग की गई थी।
   • उदाहरण: 12 * (8/1) = 96/12; 3 * (9/4) = 27/12; 4 * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12
4. समीकरण को हल करें: अब अापको जो LCD प्राप्त हुआ है तथा इसे दर्शाने के लिए वास्तविक समीकरण में जो बदलाव आये हैं इससे आपको जमा तथा घटा करने में ज्यादा परेशानी नहीं होनी चाहिये।
   • उदाहरण: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

संपादन करेंचीजें जिनकी आपको आवश्यकता होगी

• पेंसिल
• पेपर
• केलकुलेटर (वैकल्पिक)

संपादन करेंस्रोत और उद्धरण

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